İki Süper Origami Ekibi…

Geçen hafta iki farklı ve birbirinden eğlenceli origami etkinliği yaptık. Bunlardan bahsetmek istiyorum size…İlki Muğla Kötekli Gençlik Merkezinin gönüllü üniversite öğrencileri ile diğeri de BİLSEM Muğla’nın en bıcırık, en zeki ve en eğlenceli ekibiyle olandı.

Muğla Kötekli Gençlik Merkezinin gönüllü üniversite öğrencileri ile bir akşam üstü geç saatlerde buluştuk. Hepsinin gözlerinde heyecan ve merak vardı. Herbiri farklı bölümlerde 2,3 ve 4. sınıf olup hepsi gönüllü işler yapmak için bir araya gelmiş gencecik beyinler ve yüreklerdi. Katlama adımlarını öğrenmek ve öğrendiklerini bir başkasına anlatmak için o kadar hevesliydiler ki o kadar geç olmasına rağmen, daha fazla katlama öğrenmek için saatlerce daha kalmaya razıydılar. Halbuki ben tamam yeter gidelim artık demelerini beklerken onlar bir başka katlama, yeni bir katlama daha diye istekte bulundular. Onlarla küp katladık, turna kuşu katladık 2 kere ve tetrahedron katladık. Turna kuşu hikayesini, Sadoka’yı anlattım onlara, gözleri doldu onların da benim gibi. Eminim hepsinin içinde ayrı bir yer etti küçük kızın hikayesi, silahsızlanma ve nükleer silaha karşı turna kuşunun anlamı.

Eminim Muğla Kötekli Gençlik Merkezindeki bu heyecanlı, hevesli ve gönlü güzel gönüllüler çok güzel işlere imza atacak ve birçok çocuğun, gencin hayatlarına dokunacaklar. Yolunuz açık olsun…

Diğer güzel buluşmam özel yetenekli öğrencilerin potansiyelini değerlendirmek; topluma daha faydalı bireyler olmalarını sağlamak amacıyla kurulan Bilim ve Sanat Merkezi yani kısaca BİLSEM’de oldu. Muğla BİLSEM müdürü Bekir Cevizci’nin daveti üzerine katıldığım bu etkinlikte birbirinden akıllı, konuşkan, sorular soran, meraklı bıcırıkla tanıştım. Bu birime gelen öğrenciler öncelikle girdikleri bir sınava göre seçilmekte ve her biri belli bir yeteneğe, beceriye ve normal üstü zekaya sahipler. Bu birim onlara okullarında ulaşamadıkları farklı bir eğitim sunuyor. Sorgulamaya, araştırma ve  deneyler yapmaya, sanatla uğraşmaya imkanlar sağlıyor. Bu farklı yeteneklerle donanmış bıcırıklar eğer hak ettikleri farklı ve onlara seslenen şekilde eğitim alabilirlerse ülkemizin oldukça parlak bir geleceği olabileceğine inanıyorum. Bu çocuklarla eminim daha güzel şeyler başaracağız.

BİLSEM’de yaptığımız kısa süreli etkinlikte benim tecrübe ettiğim en dikkate değer unsur öğrencilerin kavrama hızları ve sorgulama yetenekleriydi. Katlamaları kolaylıkla yapmalarının yanında modüler origaminin en sıkıntılı aşaması olan modüllerin birbirine enregre edilemsi aşamasını oldukça kolay bir şekilde kavradılar. En zevkli origami etkinliklerimden biriydi bu grupla yaptığım etkinlik. Onların özgüvenleri ve bilgiye duydukları saygı ve sevgi, benim için heyecan vericiydi. Bu küçük akıllarla origami yapmaktan büyük zevk aldım.

17191325_10211152041009244_3685345094622941421_n17156146_10211152040929242_265960312666939986_n

Bu güzel ekibin bir de aynı formatta heyecanlı ve öğrenmeye hevesli genç bir öğretmen kadrosu var. Onlardan da bahsetmeden geçmek istemiyorum. BİLSEM’in öğretmenleri de çocuklardan fırsat bulur bulmaz masaya oturarak katlama yapmaya başladılar. BİLSEM’de geçen birkaç saat o günün en güzel saatleriydi. Hem öğrencileri hem de öğretmenleri birer origami sevdalısı ve Origamistleri oldular.

Origami yapmaya devam…

Bir sonraki yazımda Origami üzerine başlattığım akademik incelemelerimden de bahsetmek istiyorum. Katlamak sadece eğlencesine ya da matematik konuşmak için değil aynı zamanda da bilimsel süreçlerini de irdelemek için var dünyamda…bir de paylaşmak için, matematiğe yeni bir gözlükle bakmak için…

B2

Kağıtların 7 Kuralı: Origami Postulatları

Bugün Origami ile dolu dolu geçti yine. Bu defa bir cisim katlamak yerine katlamaları matematiksel olarak incelemek daha ilginç geldi bana. Bu incelemelere yön veren ise her matematiksel sürecin yön veren unsurlarından olan postulatlar oldu. Postulat bazı kaynaklarda aksiyom ile eş anlamlı kullanılsa da bazı kaynaklarda farklı oldukları söylenmektedir. Geometriye ait olan aksiyomlara postulat dendiği ise sıklıkla karşıma çıkan tanımların arasındadır. Geometride özellikle Öklid postulatlarını biliyor olabilirsiniz. Origamide de kullanılan postulatlar aslında Öklid postulatlarına dayanmaktadır. Ancak kendi içinde de oldukça orjinal ve uğraşması oldukça eğlencelidir.

Şimdi elinize bir kağıt alın ve aşağıdaki 7 postulatı göstermeye çalışın. Geometriye bir de bu açıdan bakalım.

POSTULAT 1: Verilen P1 ve P2 noktalarından geçecek sadece bir tane katlama yapılır.

Bu postulat Öklid’’in birinci postulatına (iki farklı noktadan sadece bir doğru geçer) oldukça paralel olan bir postulattır ve bir cetvel ile bu durum kolay bir şekilde gösterilebilir.

1

Şekil 1. Postulat 1’in çizimi

POSTULAT 2: Verilen iki nokta P1 ve P2 için, P1’in P2 üzerinde olması sağlanacak bir katlama yapılır.

Bu postulatta bir cetvel ve pergel ile bir doğru parçasının orta dikmesinin çizimini ifade eder. [P1P2]’nın orta noktasından geçen doğru parçası katlanarak P1 ve P2 noktaları üst üste gelecek şekilde katlanabilir.

2

Şekil 2. Postulat 2’nin çizimi

Bu postulat aynı zamanda P1 ve P2 noktalarından geçen ve orta dikme oluşturma işlemi ile aynı süreci ile aynı olacaktır.

POSTULAT 3: L1 ve L2 olarak verilen iki doğru için L1 doğrusu L2’nin üzerine gelecek şekilde katlanır.

Bu durumu incelerken birkaç durum göz önünde bulundurulur.

Örneğin, eğer L1 L2’ye paralel değil ise bu Origami hareketi aslında bir pergel ve cetvel ile verilen bir açıyı ortadan ikiye bölme işlemi ile aynı sonucu vermektedir. Buna dair de aşağıdaki gibi bir çizim yapılabilir.

3

Şekil 3. Postulat 3’ün paralel olmama durumuna dair çizim

Diğer bir durum olan paralel olma durumu ise L1’in L2 üzerine katlanması halinde L1 ve L2’nin tam ortasından geçen ve her ikisine de paralel olan bir doğru elde edilecektir.

POSTULAT 4: Verilen bir P1 noktası ve L1 doğrusu için P1 noktasından geçen ve L1 doğrusuna dik olan bir katlama yapılır.

Bu postulat da yine çizimlerle açıkça gösterilebilmektedir. Doğrunun dışında verilen bir noktadan doğruya çizilen dikmeyi anımsatan bu katlama da Öklid geometrisinin temellerindendir.

4

Şekil 4. Postulat 4’ün çizimi

POSTULAT 5: P1 ve P2 noktaları ile L1 doğrusu verilmiş olsun. P2 noktasından geçen ve P1 noktasının L1 doğrusu üzerinde bulunmasını sağlayacak bir katlama yapılır.

Bu katlama için P1 noktasını L1 doğrusu üzerinde olacak şekilde bir katlama yapmak ve bu katlamanın aynı zamanda P2’den de geçmesini sağlamak gerekecektir. Örneğin aşağıdaki Şekil 6’da da görüldüğü gibi sol köşeden yapılan katlama ile L1 doğru parçası P1 noktasından geçirilir bu esnada da P2 noktasından geçen bir L2 doğru parçası elde edilebilir.

5

Şekil 5. Postulat 5’in çizimi

Bu postulat aslında bir çember ve bir doğrunun birbirine göre konumlarını incelemeye dayalı bir problem durumudur. Doğru çembere değmeyebilir, bir noktada teğet olabilir ya da 2 noktada kesebilir. Aşağıdaki çemberlerde iki çözümlü duruma dair katalamanın çizimleri bulunmaktadır. Bunları Geogebra kullanarak kolaylıkla çizebilirsiniz. Ancak bunları çizmeden önce tabiki kağıtlarla oluşturmanız gerekmektedir. Katlama sonucu oluşan kat izi p2’den geçer ve m1p1 ve Bp1 arasındaki doğru parçasını ortadan ikiye bölen bir dikme olarak ortaya çıkmaktadır.

Şekil 6. Katlanma sonucu oluşan 2 ihtimal katlama doğrusu çizimleri

POSTULAT 6: P1 ve P2 noktaları ile L1 ve L2 doğru parçaları verilmiş olsun. P1 noktasının L1 doğru parçası üzerinde P2 noktasının da L2 doğru parçası üzerinde yer alması sağlayacak bir katlama yapılır.

6

Şekil 7. Postulat 6 için örnek çizim-I

Bu postulat aslında p1 ve p2 odak noktalarına sahip iki parabole aynı anda teğet doğrusu çizmek ile ilgilidir. Bu durumu aşağıdaki çizimde de görebiliriz.

7

Şekil 8. İki parabole aynı anda teğet olan katlanan doğrunun çizimi

İki parabole çizilebilecek ortak teğetler düşünüldüğünde ise bunun ancak üç tane olduğu görülecektir. Buna dair çizim aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

8

Şekil 9. Bir düzlemde çizilen iki parabolün ortak 3 teğeti vardır.

Bu problem aynı zamanda da 3. dereceden bir denklemi çözümü olarak da alınabilir ve bu durumda da 3 farklı çözüm karşımıza çıkacaktır. Bu katlamaya Beloch katlaması denmektedir. Bu katlama ile çözümü elde edilen bu problemi cetvel ve pergel ile yapmak mümkün olmadığı için bu durum kağıt katlamanın da bir anlamda fakını ve gücünü ortaya koymaktadır.

POSTULAT 7: P noktası ile L1 ve L2 doğru parçaları verilsin. P noktasının L1 üzerinde olmasını sağlayan ve L2 doğru parçasına dik olan bir katlama yapılır.

9

Şekil 10. Postulat 7’nin çizimi

Umarım siz de benim kadar bu katlamaları yaparken eğlenmiş ve öğrenmişsinizdir. Origami ve matematiksel incelemeler üzerine yeni okumalarda buluşmak üzere 🙂

B2

Fujimoto Yaklaşımı

Bugünlerde origami üzerine okuduklarım arasında ilgimi çeken bir yaklaşım olan Fujimoto yaklaşımı bir uzunluğu eşit parçalara ayırma ile ilgili katlama tekniğidir. Herhangi bir cetvel ya da ölçüm aracı kullanmadan oldukça net olarak kağıdı eş parçalara ayırmaya yarayan bu teknik beni oldukça şaşırttı. Okuyup ilk denememi yaptığımda çıkan sonuç origamiye bir kere daha hayran kalmama sebep oldu. Tekniğin basamaklarını aşağıda görseller yardımıyla açıklamaya çalıştım.

Fujimoto yaklaşımı ile cetvel kullanmadan bir şerit kağıdı 5 eş parçaya bölme aşamaları şunlardır:

  • Verilen bir şerit göz kararı 1/5lik parçasından katlanarak çok net olmayan bir kat izi oluşturulur.

 

1

Şekil 1. Verilen şeridin tahmini 1/5lik kısmı

  • Şeridin diğer ucuna doğru yaklaşık 3/5lik kısmı için bir başka kat izi yapılır.

 

2

Şekil 2. 3/5lik katlama

  • Şeridin sağ kenarını 3/5lik kat izi ile bileştirerek oluşan katlamada hafif bir iz bırakılır. Böylelikle aslında 4/5lik katlama elde edilir.

 

3

Şekil 3. 4/5 lik katlama

 

  • Bir sonraki adımda 4/5lik kat izi şeridin sol kenarı il birleştirilir ve oluşan yeni kat izi belirginleştirilir. Bu nokta 2/5lik kat izinin olması gereken yer olacaktır.
4

Şekil 4. 2/5lik katlama

  • Son olarak şeridin sol kenarı 2/5lik kat izi ile birleştirilerek 1/5lik kat izi yeniden oluşturulur. İlk başta tahmini olarak elde edilen kat izinden farklı olarak net cevaba en yakın 1/5lik parça elde edilmiş olacaktır.

 

5

Şekil 5. 1/5lik katlama 

(Not: Şekiller CutOutFoldUp adresinden alınmıştır.)

Size güzel bir soru: “Elde ettiğimiz bu katlamalar cetvel kullanmadan yapılmasına ve tahmini bir katlama ile başlamasına rağmen nasıl bu kadar net bir cevap verebiliyor?”

Origami okumalarına devam ediyorum. Bundan sonra da karşılaştığım ve beni cezbeden ilginç origami uygulamalarından bahsedeceğim.

Benim Hala Umudum Var…

Bugün Menteşe Sosyal Bilgiler Lisesinde bir 11. sınıfta matematik uygulaması yaptım. Yani matematik dersi anlattım. İşlediğim dersin konusu Euler Formülünün (Chapter 10) düzlemde ve çok yüzlüler bağlamında incelemeyi içermekteydi. Öncelikle biraz Euler’den bahsedeyim. 18. yüzyılın en önemli matematikçilerinden biri kabul edilmekte olan Euler oldukça üretken matematikçilerden biridir. Birçok yeni kavram geliştirmiş, basit aritmetikten sayılar teorisi ve topolojiye kadar farklı alanlarda uzun süre kabul gören birçok teorem ispatlamıştır. Modern matematik terminolojisinin yaratıcılarından olan Euler  fonksiyon kavramını ve yazılışını tanımlamıştır. Trigonometrik Fonksiyonların da tanımını yapmıştır.  Richard Feynman tarafından “matematikteki en olağanüstü formül” olarak adlandırılan  e^{i \pi} + 1 = 0, \,\! denklemini oluşturmuştur.

Euler 1736 yılında Königsberg’in yedi köprüsü olarak bilinen bir problemi çözmesi ile yeni bir matematik dalının doğmasına neden olmuştur. Graph theory yani çizge kuramının ve topolojinin kurucularından sayılan Euler’in uğraştığı bu problem üzerine kurulu dersimizi işlerken 11. sınıflarla çizgeleri konuştuk. Hangi çizgeler hangi koşullar altında Euler Yolu olarak adlandırılır onları keşfettik.

IMG_1073Yaptığımız etkinlik sonunda Platonik cisimlerin yüz, ayrıt ve köşe sayıları arasında Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayrıt Sayısı=2 olarak bilinen Euler Teoremi bağıntısını ortaya koyduk. Diğer derste origami yaptık ve Platonik cisimleri inceledik. Bu cisimler üzerinde Euler Formülünü test ettik.

IMG_1077

Misafir olduğum sınıfın  gençleri aklı başında ve birer yetişkin olmaya aday öğrencilerdi. Onlarla tanışmaktan çok mutlu oldum. Böyle düşünmeme en büyük etmen etkinlik sonrası görüşme yaptığım 4 genç oldu. Gençler bana 3 saatlik yaptığım derse dair dönütler vereceklerdi ama bununla birlikte bana umut da verdiler.

IMG_1064.jpg

Onlara dersi nasıl bulduklarını sorduğumda çok beğendiklerini, Euler yolunu ve onun günlük yaşamdaki etkin kullanımını öğrenmenin kendilerini aydınlattığını, hatta derste gördüklerinin merak uyandırıcı olduğunu, devamını araştıracaklarını söylediklerinde mutluluktan uçuyordum. Bunun yanında içlerinden birisi beni derinden etkileyen açıklamalar yaptı. Öğrenci ile aramızda geçen konuşma aşağı yukarı şöyleydi:

Ben: İşlediğimiz derse dair ne düşünüyorsun?
Öğrenci: oldukça farklı bir dersti. sevdim. günlük yaşamda matematiğin yansımalarını görmek beni mutlu ediyor matematiği daha çok seviyorum. Ama tabi bizim alışık olduğumuz derslerden farklıydı. Biz daha çok sınava hazırlık olarak matematik dersi işliyoruz böyle bilimsel konulara girmiyoruz.
Ben: Peki bu dersin senin zamanını boşa harcadığını düşünür müsün?  sınava hazırlandığın bir dersi daha çok mu tercih ederdin?
Öğrenci: şimdi matematik şöyle, askeri bir eğitimde nasıl rahat hazır ol eğitimi verilir. Muharebede rahat hazır ol mu yapacak asker hayır. O disiplin için, beyni ve bedeni belli bir şekle sokmak içindir. Matematiği de ben böyle düşünüyorum. Yani sizin kafanızın belli bir düşünce şekline hazırlanmasını sağlıyor. Yani bu ders sınava hazırlıkta ne kadar faydalı olur bilemem ama gerçek hayat konusunda kesinlikle yardımcı olacağını düşünüyorum. …Uluslararası PISA sınavı var mesela. Bu sınavda bizim ülkemizin başarı oranı oldukça düşük mesela. Bunun sebebi bence matematik derslerinde işlemi yap geç şeklinde yapılıyor ve gerçek hayattan işlemlere yer verilmiyor olmasıdır. Bu şekilde, az önce derste yaptığımız gibi,  beyin fırtınası şeklinde ders yapılsa ve sorular da günlük hayattan olsa başarı daha çok olurdu bence. …..sınav bizim için çok büyük bir sorun ama dersler sınava odaklı gitmesi yerine, sınav gerçek hayata odaklı olmalı. Yani odağı değiştirmek gerekiyor. Yani şimdi hepimizin bir hedefi var. Mesela hocamız “size dersi sınav odaklı yapmıyorum bilimsel odaklı yapıyorum” dese ki öncelikle yapmaz bunu çünkü bizim  geleceğimizle  oynar, bi kere hiç bir okulda böyle bir ders işlenmiyor bence…  Ama sınav bu şekilde olursa herkes bunu yapmak zorunda olur. O zaman Türkiye’nin her yerindeki hocalar böyle ders işler ve sınavlar da buna bağlı olur. …. Sistem buna dönerse dersler daha anlamlı ve öğretici olacaktır. çözüm odağımızı değiştirmekte…ama lokal olmamalı bu değişim her yerde olmalı, tüm Türkiye’de…

Yukarıdaki konuşmadaki öğrenci ve daha birçoğu nedeniyle benim hala umudum var…

B2

Uzaktan Eğitimle Origami Dersi

Geçtiğimiz hafta Akdeniz Üniversitesi Eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi olan arkadaşım Yrd. Doç. Dr. Nuray Gedik’in dersine davetli öğretim üyesi olarak katıldım. Benim için çok heyecan verici ve oldukça eğlenceli bir dersti. Origamiyi okul öncesinden öğrenci ve öğretmenlerinden yüksek öğretimdeki öğrenci ve öğretim üyelerine kadar yüz yüze çalıştay ve derslerde anlatmama rağmen bu ders benim için bir ilkti. Hatta daha önce uzaktan eğitim ile “calculus” dersi de verdim. uzaktan eğitimle ders anlatmak hiç de yabanacı olduğum bir durum olmasa da origamiyi karşımdakinin yaptıklarına dokunmadan ve yakın temasta bulunmadan anlatmamıştım.

12998286_1148677611829782_802732009762869313_o

13063468_1148677631829780_8566030637559334365_o

Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesinin Uzaktan Eğitim Merkezinin muhteşem personeli sayesinde Nuray Hoca’nın birlikte ders yapmaya dair teklifini hemencecik hayata geçirebildik. Akdeniz Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği bölümü öğrencileri ile gerçekleştirilen “ORİGAMİ” konulu dersimizde modüler origami ile küp  oluşturduk.

13041187_1148677635163113_8533295924364760119_oUzaktan eğitiminin en temel işlevlerinden olan  mekandan bağımsız olarak farklı şehirlerden öğretim üyeleri ve öğrenciler bir araya geldik ve etkili öğrenme deneyimleri gerçekleştik.

Bu tarz uygulamaların sayının artması umuyla diyorum.

B2

Origamist

Bu kelime aslında İngilizce bir kelime ve İngilizce tanımı da şöyle verilmiş: “a person trained in the ancient japanese art of folding paper”. Ancak bu kelimenin Türkçe karşılığı olabilecek “origamici” gibi bir kelime henüz dilimize yerleşmedi bence. Bu nedenle maalesef ben de “origamist” sözcüğünü Türkçe’de oldukça sık kullanıyorum. Origamici demekten daha anlamlı geliyor bana…belki de yanılıyorum. Bir dil bilimci bu kelime yerine kullanmamız gereken yeni bir kelime üretmeli belki de…

Son zamanlarda kendimi bir origamist olarak görmeye başladım yavaş yavaş, çünkü karşılaştığım sorunları origami yoluyla çözmeye başladığımı fark ediyorum. Bu aralar origamiden eşyalar üretmek benim için sıradan, vazgeçilmez ve oldukça normal bir durum olmaya başladı.  En son bu durumu gözlemlediğimde, ofiste leblebi yemek isteyip leblebileri koymak için bir tabak bulamamam sonucunda ortaya çıktı. Tabak arayışım kendime “neden bir tabak katlamıyorum ki?” diye bir soru sormamla sonlandı. O zaman bir katlama yapıp ihtiyacım olan objeyi elde edebilirdim.

Hemen ardından önce kendim nasıl bir katlama üretebilirim diye bir kaç deneme katlaması yaptım. Ama itiraf etmeliyim yeni bir katlama üretmek hiç de kolay değil bence. Ciddi bir konsantrasyon ve ne yaptığını bilme süreci içinde olmak gerekiyor. Hem bu üretme sürecini  yemek istediğim leblebilerin kokusu burnumun dibindeyken ve bu leblebi yeme isteğine yenik düşmüş iken yaşayabilmem çok mümkün değildi o an. Ben de internetten arayarak bulduğum bir kutu katlama videosunu (origamiden kutu yapımı) izleyerek, leblebi tabağımı bir an önce katladım 🙂

Sonuç olarak bir origamistin problemini çözüş şekli aşağıdaki gibi ortaya çıkabilmektedir 🙂 Leblebileriyle birlikte origamiden kutu…

.10330509_10154054430693545_3511428582961878899_n

B2

İki Boyutlu Kağıtlardan Üç Boyutlu Origami Küpüne Yolculuk

KüpMatematik eğitimi ve origami üzerine o kadar çok gönüllü etkinlikler yaptım ki artık bu konu hakkında bir yayın çıkarmanın zamanı geldi diye düşünmeye başlamıştım. Origami ile ilgili ilk yayınım olarak her zaman benim için özel bir yeri olacak yayınımı sizinle paylaşmak istiyorum. Özellikle ortaokul matematik öğretmenleri için çok güzel bir etkinlik yapmalarını tavsiye ederim. Hatta kullanan öğretmenlerden bana dönüt yazmalarını özellikle rica ediyorum. Böylelikle bir sonraki yayında o dönütler doğrultusunda mutlaka farklı uygulamalar yapılacaktır.

Makele Araştırma Temelli Etkinlik Dergisi-ATED  adlı bir etkinlik dersinde yayınlandı. Bu dergiyi özellikle ortaokul öğretmenlerine tavsiye ederim. Dergi Türkiye’de bir ilki başardı, öğretmenler için okullarda test edilmiş, orjinal etkinlikler yayınlıyor.

Şimdiden sizlere iyi okumalar ve bol origamili günler 🙂

İKİ BOYUTLU KAĞITLARDAN ÜÇ BOYUTLU ORİGAMİ KÜPÜNE YOLCULUK